不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
一、比较法
比较法是证明不等式的最基本方法，具体有“作差”比较和“作商”比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）
例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由题目观察知用“作差”比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。 
证明：
例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba
分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同“1”比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小
证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则
 
练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）
二、基本不等式法
利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及  变形有：
（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）
（2）若a、b∈R+，则a+b≥ （当且仅当a=b时，取等号）
（3）若a、b同号，则 （当且仅当a=b时，取等号）
例3 若a、b∈R，
分析：通过观察可直接套用：
证明：
练习2：若
二、综合法
综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。
例4，设
证明：
 
练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f
求证：2f（n）≤f（2n）
四、分析法
从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。
例5：已知
分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 也不适用基本不等式法，用分析法较合适。
证明： 
∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知
∴ 不等式成立
练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
五、放缩法
放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正数
求证：
分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。  
 
练习5：已知：
六、换元法
换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。
1、三角换元：
是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1. ，  求证0＜A＜1
证明： ， ， ，（0＜θ＜ ）
   
复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证： ≤x2-xy+y2≤3
2、比值换元：
对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。
例8：已知
证明：
 
七、反证法
有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题，适宜用反证法。
例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤2
分析：本题已知为p、q的三次  ，而结论中只有一次  ，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。
证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
将p3+q =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾  ∴p+q≤2
练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0,abc＞0.
       求证：a＞0,b＞0,c＞0
八、数学归纳法
与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。
例10：设n∈N，且n＞1,求证： ＞
分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法
证明：（1）当n=2时，左=
（2）假设
n=k 
那么当n=k+1时，  ①
要证①式左边＞  ②
对于②〈二〉
〈二〉
〈二〉
〈二〉4＞3                                        ③
∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立
由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立
练习8：已知n∈N，且n＞1，求证：
九、构造法
根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。
1、构造函数法
例11：证明不等式：
证明：设f（x）=   
∵f（-x）
= =f（x）
∴f（x）的图像表示y轴对称
∵当x＞0时，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0
∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即
练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b-
2、构造图形法
例12：若f（x）= ，则|f（x）-f（b）|＜
分析：由 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1,x),O(O,O)的距离
 即
于是如右图，设A(1,a)，B(1,b)则OA=  OB= 
 
又  ∴|f(a)- f(b)|＜|a-b|
练习10：设a≥c，b≥c，c≥0，求证
十、添项法
某些不等式的证明若能优先考虑“添项”技巧，能得到快速求解的效果。
1、倍数添项
若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。
例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）
证明：∵a、b、c∈R+
∴a3+b3+c3=
 
当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号成立。
2、平方添项
运用此法必须注意原不等号的方向
例14 对于一切大于1的自然数n，求证：
证明：
 
 
3、平均值添项
例15：在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC
分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算术平均值添项sin
证明：先证命题：若x＞0，y＜π，则sinx+siny≤2sin （当且仅当x=y时等号成立）
   sinx+siny=2sin
∴上式成立
反复运用这个命题，得
 
练习11 在△ABC中，sin
4、利用均值不等式等号成立的条件添项
例16 已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求证a4+b4＞
分析：若取消a≠b的限制则a=b= 时，等号成立
证明：∵a、b∈R+   ∴a4+3 ≥  ①
同理   ②
∴   ③
∵a≠b ∴①②中等号不成立  ∴③中等号不成立  ∴ 原不等式成立
1．是否存在常数c，使得不等式 对任意正数x,y恒成立？
错解：证明不等式 恒成立，故说明c存在。
正解：x=y得 ，故猜想c= ,下证不等式 恒成立。
要证不等式 ，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证 ,即2xy≤ ，而此不等式恒成立，同理不等式 也成立，故存在c= 使原不等式恒成立。
6.2已知x,y,z∈ ，求证：  xyz
错解：∵  3 =3xyz
又x+y+z 
∴   =xyz
错因：根据不等式性质：若a b 0，c d 0,则ac bd，但   却不一定成立
正解：  2x z，
  2xy ，
  2 yz
以上三式相加，化简得：
  xyz(x+y+z),
两边同除以x+y+z:
  xyz
6.3 设x+y>0， n为偶数，求证   +
错证：∵ - - =
n为偶数，∴  0，又 和 同号，
∴ +   +
错因：在x+y>0的条件下，n为偶数时， 和 不一定同号，应分x、y同好和异号两种情况讨论。
正解：应用比较法：
 - - =
① 当x>0,y>0时，  0， >0
所以  0          故： +   +
② 当x,y有一个是负值时，不妨设x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|
又n为偶数时,所以 >0
又 >0，所以 >0
即 +   +
综合①②知原不等式成立